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दो तरंगों के व्यतिकरण

दो तरंगों के व्यतिकरण
दो तरंगों के व्यतिकरण

प्रश्न- दो तरंगों के व्यतिकरण से उत्पन्न परिणामी तीव्रता का व्यंजक लिखिए। (NCERT)
या
a₁ तथा a₂ आयामों तथा समान आवृत्ति की तरंग के अध्यारोपण से उत्पन्न परिणामी तरंग के आयाम के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए जहाँ तरंग के बीच कलान्तर है। [2019, 20
]

उत्तर- दो तरंगों के व्यतिकरण से उत्पन्न परिणामी तीव्रता का व्यंजक-माना कि किसी माध्यम में दो तरंगें एक ही दिशा में गति कर रही । मान लीजिए कि इनकी आवृत्तियाँ बराबर हैं और ये दो कम्पन स्रोतों से इस प्रकार उत्पन्न होती हैं कि किसी बिन्दु पर पहुँचने के समय उनके बीच कलान्तर Φ है। यदि इन तरंगों के आयाम क्रमश: a₁ व a₂ हों और किसी समय t पर माध्यम के किसी बिन्दु पर इन तरंगों के कारण विस्थापन y₁व y₂ हों
तब y₁=a₁sinωt … ……..(1)
y₂=a₂sin(ωt+Φ) …….(2)

प्रश्न- एक विभवमापी की संरचना तथा कार्यविधि का वर्णन कीजिए।

जहाँ ω/2π प्रत्येक तरंग की आवृत्ति है। अध्यारोपण के सिद्धान्त से, उस बिन्दु पर परिणामी विस्थापन y = y₁ + y₂
y= a₁sinωt + a₂sin(ωt + Φ)
= a₁sinωt + a₂sinωtcos Φ + a₂cosωtsinΦ
= (a₁+ a₂cosΦ) sinωt + (a₂ sin o) cos wt
माना कि a₁ + a₂cosΦ = Acosθ …(3)
तथा a₂ sin Φ = Asinθ …(4)
जहाँ, A व θ नये नियतांक हैं।
y= A cosθ×sin ωt + A sinθ×cos ωt
y = A (sin ωt cosθ + sinθ cos ωt)
y= Asin (ωt + θ) …….(5)

समीकरण (5), समीकरण (1) व (2) के ही समान है। अत: उपर्युक्त बिन्दु पर परिणामी विस्थापन एक ऐसी तरंग के कारण है जिसका आयाम A है। A का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण (3) व (4) के दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने पर
A² cos²θ + A² sin²θ = (a₁ + a₂ cos Φ)² + a²₂ sin²Φ
Α² = a²₁ + 2a₁a₂ cosΦ + a²₂ cos² Φ+ a²₂sin²
A² = a²₁+a²₂ +2a₁a₂ cosΦ ……(6)
∵तीव्रता, आयाम के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है; अतः परिणामी तीव्रता l ∝ A² अथवा l = KA² (जहाँ K एक समानुपाती नियतांक है।)

l = K(a²₁ + a²₂ + 2a₁a₂cosΦ)
अथवा l = Ka²₁ + Ka²₂ + 2Ka₁a₂ cosΦ
अथवा l = Ka²₁ + Ka3²₂ + 2{√(Ka²₁ Ka²₂) }cosΦ
यदि व्यतिकारी तरंगों की पृथक्-पृथक् तीव्रताएँ क्रमशः ।₁ तथा l₂ हो, तो l₁ = Ka²₁ तथा l₂ = Ka²₂
l= l₁+l₂+2√(l₁l₂)cosΦ ………(7)
यही व्यतिकरण के फलस्वरूप तरंग की परिणामी तीव्रता का अभीष्ट व्यंजक है। इससे स्पष्ट है कि किसी बिन्दु पर परिणामी तीव्रता उस बिन्दु पर मिलने वाली दोनों तरंगों की तीव्रताओं के साथ-साथ उनके बीच कलान्तर पर भी निर्भर करती है।

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